10 000 долларов от венгерских математиков

Все прекрасно помнят и представляют себе, как работает кукла- неваляшка: сочетание специальной формы и тяжелого дна создает забавный эффект.

Но, можно ли создать такие объекты, которые бы обладали такими же или аналогичными свойствами, будучи гомогенными (однородными) внутри, без смещённых центров тяжести?

Это выглядит совершенно невероятным, но такое тело есть.

Проблемы неваляшки кажутся пустяковыми, пока не задумаешься о том, что эта «игрушка» имеет весьма интересные качества. Так, у неё есть единственное положение, когда она имеет устойчивое равновесие и единственное положение неустойчивого равновесия. Почти каждое иное тело, каким бы сложным оно ни было, можно вполне устойчиво поставить.

Сотворение гомогенного тела, которое обладает свойствами куклы-неваляшки — это вызов аналитическому уму. И, два математика из Венгрии взялись за активное решение этой непростой задачи: Домокош Габор (Domokos Gabor) из университета, г. Будапешт экономики и технологий (BME) и Варкони Петер (Varkonyi Peter), который работает сейчас в университете Принстона (University Princeton). Достаточно ли только лишь специальной формы самого объекта, чтобы объект сам поднимался, после того как опрокинулся? Коллеги начали с решения аналогичной задачи для объектов двухмерных — они изготовляли из фанеры достаточно сложные фигуры, устанавливали их на ребро и наблюдали, как они поведут себя, когда опрокидываются.

У неваляшки принцип прост. А вот создать аналогичную систему без смещения самого центра тяжести – довольно непростая задача. В конце концов, исследователи смогли доказать математически, что у каждой плоской формы есть, по крайней мере, лишь две точки равновесия неустойчивого и две точки равновесия устойчивого. Но Петер и Габор собирались создать модернизированный вариант неваляшки, а значит, требовалось подумать о 3-D объектах. Они пробовали применить свою теорию «двухмерности» на другие измерения и поняли, что самовосстанавливающийся трёхмерный объект, скорее всего, может действительно существовать. Но у него будет только одно положение равновесия устойчивого и только одна точка равновесия неустойчивого. Но какая же вероятная форма такого объекта?

Вначале, исследователи-ученые обратились к природе. Так Домокош, когда отдыхал в Греции медовый месяц, проверил, как держат равновесие на двух тысячах камушков на морском берегу, но ни один камушек не захотел сам «вставать», как неваляшка кукла. Благодаря ли терпению, или силе талантов двух математиков — исследователей, но желанный объект был изготовлен. Сначала — чисто математическая модель. Затем коллеги создали уравнения, по которым они вырезали уникальное тело. Оно восстанавливало своё устойчивое единственное положение при переворачивании и опрокидывании, каким угодно образом. И у него точка действительно устойчивого равновесия была единственная, и существовала только одна лишь точка равновесия неустойчивого.

Этот объект получил название «Gomboc». Многие люди, которые приходили в гости в офис господина Петера, где сейчас лежит эта штука, не могут наиграться никак с этим удивительным, невиданным предметом. Однако для тех, кто понимает, это эксклюзивное тело — далеко не простая игрушка. Gomboc уже успел покрасоваться на обложке журнала Intelligencer Mathematical , и как отмечает Домокош, «впервые, со времен появления кубика-Рубика, изобретение из Венгрии снова появилось в этом авторитетном журнале».

Примечательно то, что после того как был изготовлен Gomboc, Варкони и Домокош сразу подумали: «на что же он похож?». И очень скоро нашли похожий природный объект. Им оказалась звёздчатая индийская черепаха, которая отличается весьма своеобразным панцирем. Конечно, ни одна из черепах не желает застрять на спине. И почему бы мудрой эволюции не придать ей специализированную форму объекта неваляшки? Правда, в природе панцирь у звёздчатой черепашки не на столько совершенен, как Gomboc венгерских математиков.
Если индийская черепаха опрокинется на спину, она сможет обратно перевернуться только после незначительного толчка ногами. Потом процесс довольно быстро прекращается непосредственным образом, и в этом отношении черепашки хорошо отличаются от собратьев других видов.

Учёные снова решили проверить на практике способности панциря индийских черепашек. Коллеги испытали на «переворачиваемость» 30 индийских звёздчатых черепах и обнаружили, что большинство из них переворачиваются действительно со спины на живот после начального маленького подталкивания. Все загадки неваляшек на этом не закончились.

Ученые обратили внимание на то, что грани у Gomboc’а имеют скруглённую, сложную форму. Это и придаёт ему такие необычайные свойства.

Все же, возможно ли построить гомогенный (однородный, без каких-либо грузов внутри) объект, чтобы он имел только плоские грани, и чтобы он также вставал после своего опрокидывания?

Экспериментаторы-ученые из Венгрии так и не смогли вычислить объект, хотя по их расчетам, такой объект может, конечно, существовать.

Потому, что вопрос с неуловимым объектом не даёт спокойно нашим героям существовать, они объявили о денежном призе тому, кто сумеет отыскать такую экстравагантную форму. Десять тысяч долларов, разделённые на количество граней тела. Такова назначенная награда.

Заинтересовались?
Но Варкони и Домокош знают, что почти не рискуют. Как они считают, это тело, если оно вообще может существовать, должно иметь тысячи граней. Так что приз у победителя составит, возможно, всего несколько центов. Но, искателей формы, которая сама уравновешивается, должен, несомненно, привлечь вызов их интеллекту.

А если у изобретателя ещё есть и коммерческая жилка, то он вполне сумеет наладить промышленный выпуск своей математической игрушки. Ведь прославился же Рубик своей знаменитой головоломкой на весь мир, предварительно сам, поломав изрядно голову.